Pour quelles valeurs de m la matrice \( \begin{pmatrix} 1-m & -3 & 4 \\ 4 & -7-m & 8 \\ 6 & -7 & 7-m & \end{pmatrix} \) n'est pas inversible ?

Soit \( f \) définie par \( f(0) = 0 \) et \( f(x) = e^{x^2 - x+ \ln|x|} \). Alors :

Soit \( m \in \mathbb{R}^* \). Soit \( f_m \) définie par \( f_m(0) = m \) et \( f_m(x) = \frac{m}{x^2}e^{\frac{1}{x}}+m \) pour \( x \neq 0 \). Soit \( C_{f_m} \) sa courbe. Alors :

Dans une boite se trouvent 14 jetons portant chacun une lettre du nom "SAHARA MAROCAIN". Soit l'expérience : « tirer simultanément 5 jetons ». On répète cette expérience 3 fois en remettant à chaque tirage les 5 lettres tirées dans la boîte. On suppose que tous les tirages sont équiprobables. Quelle est la probabilité pour que l'on ait exactement 3 fois le mot "SMARA" avec les 5 lettres tirées ?

Une boite A contient 3 jetons numérotés : 1, 2, 4. Une boite B contient 6 jetons numérotés : 0, 3, 3, 5, 5, 5. On tire au hasard un jeton dans A, on lit le nombre \( a \) porté sur le jeton, puis on remet ce jeton tiré dans A. On effectue la même opération pour B, soit \( b \) le numéro du jeton tiré de B. À ce couple \( (a, b) \) on associe le point \( M(a, b) \). Quelle est la probabilité pour que \( M(a, b) \) soit situé sur l'ellipse d'équation \( \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1 \) ?

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère les deux points \( A(1, 1, 1) \) et \( B(-1/2, 3/2, 0) \) et les trois plans : \( (P): x + y + z - 1 = 0 \), \( (Q): x - y + z + 2 = 0 \) et \( (H) \) le plan passant par \( A \) et perpendiculaire à \( (P) \) et à \( (Q) \). Soit \( S \) la sphère de centre \( B \) et passant par \( A \). Alors l'intersection de \( S \) et \( (H) \) est :

Soit \( n \) un entier naturel non nul et \( (I_n)_n \) la suite définie par \( I_n = \int_1^0 x e^{-n x} dx \). Choisir la bonne réponse :

Soit l'équation \( (E) \sin(x) = \cos(2x) \). On cherche le nombre de solutions de \( (E) \) appartenant à \( [0, 2\pi] \) :

Trouver la fonction de chaque flèche pour compléter les derniers cercles :